segala rupa bloger

Selesaikan persamaan !

Penyelesaian:

Sebelum mengkuadratkan kedua ruas, harus diperhatikan batasannya.

x + 6 >= 0 ekuivalen dengan x >= -6. 

Kuadratkan kedua ruas, maka persamaan menjadi

x + 6 = x²

x² - x - 6 = 0

(x + 2)(x -3) = 0

x = - 2 atau x = 3

Keduanya memenuhi syarat karena keduanya >= -6. Namun masih harus kita cek keduanya dengan cara substitisikan ke dalam persamaan.

Untuk x = -2 didapat

 

. Tidak memenuhi, karena nilai akar selalu tidak negatif.

Untuk x = 3 didapat

. Memenuhi. Jadi penyelesaiannya hanya 3.

Yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan persamaan irasional adalah menguji jawaban yang telah diperoleh.

Contoh 2

Selesaikan pertidaksamaan !

Penyelesaian:
Syarat di bawah tanda akar adalah x + 2 >= 0 ekuivalen dengan x >= -2
Syarat pengkuadratan adalah kedua ruas >= 0, ruas kanan pasti >= 0 (jadi tidak perlu diberi syarat). Ruas kiri x >= 0.
Kedua syarat, yaitu x >= -2 dan x >= 0 menjadi x >= 0

Kuadratkan kedua ruas, maka menjadi

Pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang memuat tanda akar, misal . Menyelesaikan persamaan irasional memerlukan kehati-hatian, bila tidak kita kadang merasa yakin benar, namun ternyata salah. Yang perlu diperhatikan adalah dalam hal memberi batasan (syarat), baik batasan di bawah tanda akar maupun batasan ketika mengkuadratkan kedua ruas.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Carilah semua x yang memenuhi 

Penyelesaian:
Syarat dibawah tanda akar adalah 
Syarat untuk mengkuadratkan kedua ruas harus postif atau 0 (tidak negatif). Ruas kiri memuat akar berarti nilainya selalu positif atau 0. Ruas kanan harus .
Kedua syarat ini kita interseksikan menjadi .
Kuadratkan kedua ruas, maka pertidaksamaan menjadi:




Jadi 
Karena syaratnya  maka .
Sampai di sini belum selesai. Coba perhatikan pertidaksamaan diatas! Ruas kiri yaitu nilainya selau positif, sehingga ruas kanan, yaitu x akan memenuhi pertidaksamaan bila nilainya negatif, sehingga  dan  (batasan dibawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan.   dan  ekuivalen  dengan  


Jadi penyelesaiannya adalah gabungan dari   dan .menjadi  

Contoh 2
Tentukan banyak penyelesaian bilangan bulat dari 

Penyelesaian:
 ekuivalen dengan
Syarat dibawah tanda akar adalah  atau 
Syarat mengkuadratkan adalah kedua ruas harus positif atau 0. Ruas kanan pasti positif atau nol. Ruas kiri  atau . Kedua syarat ini menjadi  .

Kuadratkan kedua ruas menjadi
x²- 6x + 9 < x - 1
x²- 6x + 9 - x + 1 < 0
x²-7x + 10 < 0
(x - 2)(x - 5) < 0
2 < x < 5
Jadi penyelesaiannya adalah 3 dan 4. Batasannya adalah . Jadi sudah sesuai.

Sekarang perhatikan pertidaksamaan di atas, yaitu   . Pada ruas kanan nilainya selalu positif atau nol, sehingga untuk ruas kiri negatif maka memenuhi pertidaksamaan, Dengan demikian   dan  (batasan di bawah tanda akar) juga memenuhi pertidaksamaan.    dan  ekuivalen dengan . Jadi 1 dan 2 juga merupakan penyelesaian pertidaksamaan. Jadi penyelesaiannya adalah, 1, 2, 3, dan 4. Banyak penyelesaian bilangan bulat sebanyak 4.

Menyelesaikan pertidaksamaan irasional harus memperhatikan batasan (syarat) yang perlu diberikan, yaitu batasan di bawah tanda akar dan batasan ketika mengkuadratkan. Kita sering melupakan mengenai batasan, sehingga penyelesaian suatu pertidaksamaan menjadi salah, walaupun sepertinya langkah-langkah penyelesaian tidak ada yang salah.